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本文以及后续关于 Torch 应用及机器学习相关的笔记文章，均基于牛津大学2015机器学习课程，课件和视频可从官网下载。本文主要关于神经网络模型中的随机梯度下降法，介绍其原理及推导过程，并比较 Python 简单实现和 Torch 的应用。对应课件为L2-Linear-prediction.ipynb。
梯度下降法（gradient descent）
为了确定神经网络模型中参数（权值）的好坏，需要先指定一个衡量标准（训练误差，损失函数，目标函数），例如以均方差（Mean Square Error, MSE）公式作为损失函数：
$$J(\mathbf{\theta}) = MSE = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n(\widehat{\mathbf{Y_i}} - \mathbf{Y_i})^2$$
其中，$\widehat{y_i} = \sum_{j = 1}^d x_{ij}\theta_j$，矩阵表示法为$\widehat{\mathbf{Y}} = \mathbf{X}\theta$，为线性模型（神经网络）拟合结果。
模型最优化实际上是最小化损失函数的过程，梯度下降法的原理是：
若函数 $F(x)$ 在点 $a$ 可微且有定义，则 $F(x)$ 在 $a$ 点沿着梯度相反方向 $-\nabla F(a)$ 下降最快。梯度下降法 - 维基百科
损失函数 $J$ 对于权重向量 $\mathbf{\theta}$ 的梯度（gradient）：
$$\nabla J(\mathbf{\theta}) = [\frac{\partial J}{\partial \theta_0}, \frac{\partial J}{\partial \theta_1}, ..., \frac{\partial J}{\partial \theta_n}]$$
则根据梯度下降法则，参数的变化应根据：
$$\Delta \theta_i = -\alpha\frac{\partial J}{\partial \theta_i}$$
其中 $\alpha$ 为学习速率（Learning Rate）。由此可得梯度下降算法如下：
- GD(training_examples, alpha)
- training_examples 是训练集合，$\lt \vec{inputs}, output \gt$
- 初始化每个权值 $\theta_i$ 为随机值
- 终止条件前，迭代：
- 初始化权值的变化梯度 $\Delta\theta_i = 0$
- 对每条训练数据：
- 根据 $\vec{input}$ 计算模型输出为 o
- 对每个权值梯度 $\Delta \theta_i$：
- $\Delta \theta_i = \Delta \theta_i + \alpha (output - o) * x_i$ ~>(A
- 对每个权值 $\theta_i$：
- $\theta_i = \theta_i + \Delta \theta_i$ ~>(B
根据算法描述可以简单实现（完整代码）：
def GD(training_examples, alpha):
# init thetas
thetas = np.random.rand(NPAMATERS)
for i in range(LOOPS):
deltas = np.zeros(NPAMATERS)
for record in training_examples:
inputs = [1] + list(record[1:])
output = record[0]
o = NN(inputs, thetas)
for j in range(NPAMATERS):
# -- Step (A
deltas[j] = deltas[j] + alpha * (output - o) * inputs[j]
for j in range(NPAMATERS):
# -- Step (B
thetas[j] = thetas[j] + deltas[j]
return thetas
thetas = GD(training_examples, 0.00001)
test(thetas, training_examples)
"""
#No Target Prediction
0 40 20.55
1 44 37.96
2 46 44.42
3 48 48.66
4 52 52.89
5 58 54.89
6 60 67.83
7 68 63.13
8 74 69.59
9 80 89.00
"""
梯度下降法中计算 $\Delta \theta_i$ 时汇总了所有训练样本数据的误差，在实践过程中可能出现以下问题：
- 收敛过慢
- 可能停留在局部最小值
需要注意的是，学习速率的选择很重要，$\alpha$ 越小相当于沿梯度下降的步子越小。很显然，步子越小，到达最低点所需要迭代的次数就越多，或者说收敛越慢；但步子太大，又容易错过最低点，走向发散的高地。在我写的这一个简单实现的测试中，取 $\alpha = 1e-3$ 时导致无法收敛，而取 $\alpha = 1e-5$ 时可收敛，但下降速度肯定更慢。
常见的改进方案是随机梯度下降法（stochatic gradient descent procedure, SGD）,SGD 的原理是根据每个单独的训练样本的误差对权值进行更新，针对上面的算法描述，删除 $(B$，将$(A$ 更新为：
$$\theta_i = \theta_i + \alpha (output - o) * x_i$$
代码如下：
def SGD(training_examples, alpha):
# init thetas
thetas = np.random.rand(NPAMATERS)
for i in range(LOOPS):
for record in training_examples:
inputs = [1] + list(record[1:])
output = record[0]
o = NN(inputs, thetas)
for j in range(NPAMATERS):
thetas[j] = thetas[j] + alpha * (output - o) * inputs[j]
return thetas
thetas = SGD(training_examples, 0.001)
test(thetas, training_examples)
"""
#No Target Prediction
0 40 41.45
1 44 42.71
2 46 44.82
3 48 48.42
4 52 52.02
5 58 57.11
6 60 61.34
7 68 70.88
8 74 72.99
9 80 79.33
"""
可以看出，SGD 可以用较大的 $\alpha$ 获得较好的优化结果。
Torch的应用
清楚了 SGD 的原理后，再来应用 Torch 框架完成上上述过程，其中神经网络模型的框架由torch/nn提供。
require 'torch'
require 'optim'
require 'nn'
model = nn.Sequential() -- 定义容器
ninputs = 2; noutputs = 1
model:add(nn.Linear(ninputs, noutputs)) -- 向容器中添加一个组块（层），本例中只有一个组块。
criterion = nn.MSECriterion()
-- 获取初始化参数
x, dl_dx = model:getParameters()
-- print(help(model.getParameters))
--[[
[flatParameters, flatGradParameters] getParameters()
返回两组参数，flatParameters 学习参数（flattened learnable
parameters）；flatGradParameters 梯度参数（gradients of the energy
wrt）
]]--
feval = function(x_new)
-- 用于SGD求值函数
-- 输入：设定权值
-- 输出：损失函数在该训练样本点上的损失 loss_x，
-- 损失函数在该训练样本点上的梯度值 dl_dx
if x ~= x_new then
x:copy(x_new)
end
-- 每次调用 feval 都选择新的训练样本
_nidx_ = (_nidx_ or 0) + 1
if _nidx_ > (#data)[1] then _nidx_ = 1 end
local sample = data[_nidx_]
local target = sample[{ {1} }]
local inputs = sample[{ {2, 3} }]
dl_dx:zero() -- 每次训练新样本时都重置dl_dx为0
local loss_x = criterion:forward(model:forward(inputs), target))
-- print(help(model.forward))
--[[
[output] forward(input)
接收 input 作为参数，返回经该模型计算得到的 output，调用 forward() 方法后，模型的 output 状态更新。
]]--
-- print(help(criterion.forward))
--[[
[output] forward(input, target)
给定 input 和（要拟合的）目标 target，根据损失函数公式求出损失值。
状态变量 self.output 会更新。
--]]
model:backward(inputs, criterion:backward(model.output, target))
-- print(help(criterion.backward))
--[[
[gradInput] backward(input, target)
给定 input 和（要拟合的）目标 target，根据损失函数公式求出梯度值。
状态变量 self.gradInput 会更新。
--]]
-- @ https://github.com/torch/nn/blob/948ac6a26cc6c2812e04718911bca9a4b641020e/doc/module.md#nn.Module.backward
--[[
[gradInput] backward(input, gradOutput)
调用下面两个函数：
1. updateGradInput(input, gradOutput)
2. accGradParameters(input, gradOutput, scale)
--]]
return loss_x, dl_dx
end
-- 设置 SGD 算法所需参数
sgd_params = {
learningRate = 1e-3,
learningRateDecay = 1e-4,
weightDecay = 0,
momentum = 0
}
for i = 1, 1e4 do
for i = 1, (#data)[1] do
-- optim.sgd@https://github.com/torch/optim/blob/master/sgd.lua
_, fs = optim.sgd(feval, x, sgd_params)
end
end
-- Test
test = {40.32, 42.92, 45.33, 48.85, 52.37, 57, 61.82, 69.78, 72.19, 79.42}
print('id\tapprox\ttext')
for i = 1, (#data)[1] do
local myPrediction = model:forward(data[i][{{2,3}}])
print(string.format("%2d\t%.2f\t%.2f", i, myPrediction[1], test[i]))
end
--[[
id approx text
1 40.10 40.32
2 42.77 42.92
3 45.22 45.33
4 48.78 48.85
5 52.34 52.37
6 57.02 57.00
7 61.92 61.82
8 69.95 69.78
9 72.40 72.19
10 79.74 79.42
--]]
Torch 的 Neural Network Package
关于 Torch 的 Neural Network Package 在 GitHub 上有更详细的文档介绍，这里暂时不作深入学习，根据后续课程进度再做补充。